Obsah
V matematike niekedy vzniká potreba dokázať, či sú funkcie vzájomne závislé alebo nezávislé v lineárnom zmysle. Ak máte dve funkcie, ktoré sú lineárne závislé, výsledkom grafu rovníc týchto funkcií sú body, ktoré sa prekrývajú. Funkcie s nezávislými rovnicami sa pri grafe neprekrývajú. Jednou z metód stanovenia, či sú funkcie závislé alebo nezávislé, je výpočet wronskianskej funkcie.
Čo je to Wronskian?
Wronskian s dvoma alebo viacerými funkciami je to, čo je známe ako determinant, čo je špeciálna funkcia, ktorá sa používa na porovnávanie matematických objektov a dokazovanie určitých skutočností o nich. V prípade Wronskian sa determinant používa na preukázanie závislosti alebo nezávislosti medzi dvoma alebo viacerými lineárnymi funkciami.
Wronskian Matrix
Na výpočet Wronskianov pre lineárne funkcie je potrebné funkcie vyriešiť pre tú istú hodnotu v rámci matice, ktorá obsahuje funkcie aj ich deriváty. Príkladom toho je W (f, g) (t) = | FF((TT)) gg((TT)) |, ktorý poskytuje wronskianskú funkciu pre dve funkcie (fag), ktoré sú riešené pre jednu hodnotu väčšiu ako nula (t); vidíte dve funkcie f (t) ag (t) v hornom riadku matice a deriváty f (t) ag (t) v dolnom riadku. Upozorňujeme, že Wronskian je možné použiť aj pre väčšie súbory. Ak napríklad otestujete tri funkcie s Wronskianom, môžete vyplniť maticu funkciami a derivátmi f (t), g (t) a h (t).
Riešenie Wronskian
Akonáhle máte funkcie usporiadané v matici, vynásobte každú funkciu proti derivácii inej funkcie a odčítajte prvú hodnotu od druhej. Vo vyššie uvedenom príklade získate W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Ak sa konečná odpoveď rovná nule, znamená to, že obe funkcie sú závislé. Ak je odpoveď iná ako nula, funkcie sú nezávislé.
Wronskijský príklad
Aby ste mali lepšiu predstavu o tom, ako to funguje, predpokladajte, že f (t) = x + 3 ag (t) = x - 2. Použitím hodnoty t = 1 môžete vyriešiť funkcie ako f (1) = 4 a g (1) = -1. Pretože ide o základné lineárne funkcie so sklonom 1, deriváty f (t) a g (t) sa rovnajú 1. Krížové násobenie vašich hodnôt dá W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), ktorý poskytuje konečný výsledok 5. Hoci lineárne funkcie majú rovnaký sklon, sú nezávislé, pretože sa ich body neprekrývajú. Keby f (t) priniesol výsledok -1 namiesto 4, Wronskian by namiesto toho udal závislosť nulu.