Obsah
Miera zmien sa prejavuje všade vo vede, najmä vo fyzike, prostredníctvom veličín, ako je rýchlosť a zrýchlenie. Deriváty matematicky opisujú mieru zmeny jednej veličiny vzhľadom na inú, ale ich výpočet môže byť niekedy komplikovaný a môžete byť prezentovaný skôr grafom ako funkciou vo forme rovníc. Ak ste dostali graf krivky a musíte z nej odvodiť derivát, nemusíte byť takí presní ako pri rovnici, ale môžete ľahko urobiť solídny odhad.
TL; DR (príliš dlho; neprečítané)
Vyberte bod v grafe, aby ste našli hodnotu derivátu na.
V tomto bode nakreslite priamku dotýkajúcu sa krivky grafu.
Zoberte sklon tejto čiary a nájdite hodnotu derivátu vo vami vybranom bode grafu.
Čo je derivát?
Okrem abstraktného nastavenia diferenciácie rovnice môžete byť trochu zmätení ohľadom toho, čo derivát skutočne je. V algebre je derivácia funkcie rovnica, ktorá vám povie hodnotu „sklonu“ funkcie v ktoromkoľvek bode. Inými slovami, povie vám, o koľko sa jedno množstvo zmenilo pri malej zmene v druhom. Na grafe vám gradient alebo sklon čiary povie, koľko závislej premennej (umiestnenej na y-axis) sa mení s nezávislou premennou (na Xv osi).
V prípade priamkových grafov určujete (konštantnú) mieru zmeny vypočítaním sklonu grafu. Vzťahy opísané pomocou kriviek nie sú také ľahké, ale princíp, že derivát znamená iba sklon (v tomto konkrétnom bode), stále platí.
Pre vzťahy opísané pomocou kriviek má derivácia inú hodnotu v každom bode pozdĺž krivky. Ak chcete odhadnúť derivát grafu, musíte vybrať bod, ktorý má derivát vziať. Napríklad, ak máte graf ukazujúci vzdialenosť ubehnutú v čase, na priamkovom grafe by vám strmosť ukázala konštantnú rýchlosť. Pre rýchlosti, ktoré sa menia s časom, by grafom bola krivka, ale priama čiara, ktorá sa práve dotkne krivky v jednom bode (priamka tangenciálna ku krivke) predstavuje rýchlosť zmeny v tomto konkrétnom bode.
Vyberte miesto, na ktorom potrebujete poznať derivát. Na príklade prejdenej vzdialenosti v závislosti od času vyberte čas, v ktorom chcete poznať rýchlosť jazdy. Ak potrebujete poznať rýchlosť v niekoľkých rôznych bodoch, môžete tento proces absolvovať pre každý jednotlivý bod. Ak chcete poznať rýchlosť 15 sekúnd po začiatku pohybu, vyberte bod na krivke po 15 sekundách na Xv osi.
Nakreslite čiaru dotýkajúcu sa krivky v bode, ktorý vás zaujíma. Urobte si pritom čas, pretože je to najdôležitejšia a najnáročnejšia časť procesu. Váš odhad bude lepší, ak nakreslíte presnejšiu dotykovú čiaru. Podržte pravítko až po bod na krivke a upravte jeho orientáciu tak, aby nakreslená čiara bola iba dotknite sa krivky v jednom bode, ktorý vás zaujíma.
Nakreslite čiaru tak dlho, ako to umožní graf. Uistite sa, že môžete ľahko prečítať dve hodnoty pre obe X a y súradnice, jeden blízko začiatku vašej linky a druhý blízko konca. Nemusíte absolútne kresliť dlhú čiaru (technicky je vhodná akákoľvek priamka), ale dlhšie čiary majú tendenciu ľahšie merať sklon.
Vyhľadajte na svojej linke dve miesta a poznačte si X a y súradnice pre ne. Predstavte si napríklad svoju dotyčnicu ako dve významné miesta na X = 1, y = 3 a X = 10, y = 30, ktoré môžete volať bodom 1 a bodom 2. Pomocou symbolov X1 a y1 reprezentovať súradnice prvého bodu a X2 a y2 aby predstavovali súradnice druhého bodu, sklon m je daný:
m = (y2 - y1) ÷ (X2 – X1)
Toto vám povie derivát krivky v bode, kde sa línia dotýka krivky. V príklade X1 = 1, X2 = 10, y1 = 3 a y2 = 30, takže:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
V príklade by týmto výsledkom bola rýchlosť v zvolenom bode. Takže ak X-axis sa merala v sekundách a y-axis sa meral v metroch, výsledok by znamenal, že dané vozidlo cestovalo rýchlosťou 3 metre za sekundu. Bez ohľadu na konkrétne množstvo, ktoré počítate, je postup odhadu derivátu rovnaký.