Obsah
- Prečo sú exponenciálne funkcie dôležité
- Z dvojice bodov do grafu
- Jeden bod na osi X
- Ani bod na osi X
- Príklad zo skutočného sveta
Ak viete dva body, ktoré padajú na konkrétnu exponenciálnu krivku, môžete ju definovať vyriešením všeobecnej exponenciálnej funkcie pomocou týchto bodov. V praxi to znamená nahradenie bodov y a x v rovnici y = abX, Postup je jednoduchší, ak je hodnota x pre jeden z bodov 0, čo znamená, že bod je na osi y. Ak ani jeden bod nemá nulovú hodnotu x, proces riešenia pre xay je komplikovanejší.
Prečo sú exponenciálne funkcie dôležité
Mnoho dôležitých systémov sleduje exponenciálne vzorce rastu a úpadku. Napríklad počet baktérií v kolónii sa zvyčajne zvyšuje exponenciálne a okolité žiarenie v atmosfére po jadrovej udalosti sa zvyčajne exponenciálne znižuje. Vedci získajú údaje a vynesú krivku do lepšej pozície, aby mohli robiť predpovede.
Z dvojice bodov do grafu
Akýkoľvek bod v dvojrozmernom grafe môže byť reprezentovaný dvoma číslami, ktoré sú obvykle písané vo forme (x, y), kde x definuje horizontálnu vzdialenosť od začiatku a y predstavuje vertikálnu vzdialenosť. Napríklad bod (2, 3) sú dve jednotky napravo od osi y a tri jednotky nad osou x. Na druhej strane, bod (-2, -3) sú dve jednotky naľavo od osi y. a tri jednotky pod osou x.
Ak máte dva body, (x1, y1) a (x2, y2), môžete definovať exponenciálnu funkciu, ktorá prechádza týmito bodmi, ich nahradením v rovnici y = abX a riešenie pre a a b. Všeobecne musíte vyriešiť túto dvojicu rovníc:
y1 = abx1 a y2 = abx2, .
V tejto podobe vyzerá matematika trochu komplikovane, ale vyzerá menej, keď ste urobili niekoľko príkladov.
Jeden bod na osi X
Ak je jedna z hodnôt x - povedzte x1 - je 0, obsluha sa stáva veľmi jednoduchou. Napríklad riešenie rovnice pre body (0, 2) a (2, 4) poskytne:
2 = ab0 a 4 = ab2, Pretože to vieme b0 = 1, prvá rovnica sa stane 2 = a. Nahradením a v druhej rovnici sa získa 4 = 2b2, ktoré zjednodušujeme na b2 = 2 alebo b = druhá odmocnina 2, čo sa rovná približne 1,41. Potom je definujúca funkcia y = 2 (1,41)X.
Ani bod na osi X
Ak ani jedna hodnota x nie je nula, riešenie dvojice rovníc je o niečo ťažkopádnejšie. Henochmath nás prevedie ľahkým príkladom na objasnenie tohto postupu. Vo svojom príklade si vybral pár bodov (2, 3) a (4, 27). Takto sa získa táto dvojica rovníc:
27 = ab4
3 = ab2
Ak rozdelíte prvú rovnicu druhou, dostanete
9 = b2
tak b = 3. Je možné, že b sa bude rovnať -3, ale v tomto prípade predpokladajme jeho kladné.
Túto hodnotu môžete nahradiť b v ktorejkoľvek rovnici a získať a. Je ľahšie použiť druhú rovnicu, takže:
3 = a (3)2 ktoré možno zjednodušiť na 3 = a9, a = 3/9 alebo 1/3.
Rovnicu, ktorá prechádza týmito bodmi, možno písať ako y = 1/3 (3)X.
Príklad zo skutočného sveta
Od roku 1910 je rast ľudskej populácie exponenciálny a vykreslením rastovej krivky sú vedci v lepšej pozícii na predpovedanie a plánovanie do budúcnosti. V roku 1910 bola svetová populácia 1,75 miliárd av roku 2010 to bolo 6,87 miliárd. Ak vezmeme do úvahy 1910 ako východiskový bod, získa sa to dvojica bodov (0, 1,75) a (100, 6,87). Pretože hodnota x prvého bodu je nula, môžeme ľahko nájsť a.
1,75 = ab0 alebo a = 1,75. Zapojením tejto hodnoty, spolu s hodnotami z druhého bodu, do všeobecnej exponenciálnej rovnice sa získa 6,87 = 1,75b100, ktorá udáva hodnotu b ako stoté korene 6,87 / 1,75 alebo 3,93. Rovnica sa tak stane y = 1,75 (piaty koreň 3,93)X. Aj keď to vyžaduje viac ako len kĺzavé pravidlo, vedci môžu pomocou tejto rovnice premietnuť budúce počty obyvateľov, aby pomohli politikom v súčasnosti vytvoriť vhodné politiky.