Obsah
- TL; DR (príliš dlho; neprečítané)
- Identity súčinnosti v stupňoch:
- Identita súčinnosti v radiánoch
- Dôkaz o totožnosti
- Kalkulačka spolupráce
Zaujíma vás niekedy, ako sú spojené trigonometrické funkcie ako sínus a kosínus? Používajú sa na výpočet strán a uhlov v trojuholníkoch, ale vzťah ide ďalej. Identity súčinnosti dajte nám konkrétne vzorce, ktoré ukazujú, ako konvertovať medzi sínusom a kosínom, tangens a cotangent a secant a cosecant.
TL; DR (príliš dlho; neprečítané)
Sinus uhla sa rovná kosínu jeho doplnku a naopak. Platí to aj pre ostatné súčinnosti.
Jednoduchým spôsobom, ako si zapamätať, ktoré funkcie sú kofunkcie, je to, že sú dve spúšťacie funkcie cofunctions ak má jeden z nich predponu „co-“. takže:
Môžeme počítať tam a späť medzi kofunkciami pomocou tejto definície: Hodnota funkcie uhla sa rovná hodnote súčinnosti doplnku.
Znie to komplikovane, ale namiesto toho, aby sme hovorili o hodnote funkcie vo všeobecnosti, môžeme použiť konkrétny príklad. sinus uhla sa rovná kosínus jeho doplnku. To isté platí aj pre ďalšie kofunkcie: Tangens uhla sa rovná cotangentu jeho doplnku.
Pamätajte: Dva uhly sú doplnky ak pridajú až 90 stupňov.
Identity súčinnosti v stupňoch:
(Všimnite si, že 90 ° - x nám dodáva uhly.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = hriech (90 ° - x)
opálenie (x) = detská postieľka (90 ° - x)
detská postieľka (x) = opálenie (90 ° - x)
sek (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sec (90 ° - x)
Identita súčinnosti v radiánoch
Pamätajte, že môžeme písať aj veci z hľadiska RADIANS, čo je jednotka SI na meranie uhlov. Deväťdesiat stupňov je to isté ako π / 2 radiány, takže môžeme napísať aj kofunkčné identity takto:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = hriech (π / 2 - x)
opálenie (x) = detská postieľka (π / 2 - x)
detská postieľka (x) = opálenie (π / 2 - x)
sec (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sec (π / 2 - x)
Dôkaz o totožnosti
To všetko znie pekne, ale ako môžeme dokázať, že je to pravda? Vyskúšaním si na niekoľkých príkladoch trojuholníkov môžete získať istotu, ale existuje aj prísnejší algebraický dôkaz. Umožňuje preukázať súčinnosť identity pre sínus a kosínus. Chceli sme pracovať v radiánoch, ale je to rovnaké ako s použitím stupňov.
Dôkaz: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Najskôr sa vráťte do svojej spomienky až k tomuto vzorcu, pretože sme ju chceli použiť v našom dôkaze:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Mám to? OK. Teraz dokážme: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Môžeme prepísať cos (π / 2 - x) takto:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), pretože poznáme cos (π / 2) = 0 a sin (π / 2) = 1.
cos (π / 2 - x) = hriech (x).
Ta-da! Teraz to dokážeme pomocou kosínu!
Dôkaz: cos (x) = hriech (π / 2 - x)
Ďalší výbuch z minulosti: Pamätáte si tento vzorec?
hriech (A - B) = hriech (A) cos (B) - cos (A) hriech (B).
Chystali sme sa ho použiť. Teraz dokážme: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Môžeme prepísať hriech (π / 2 - x) takto:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), pretože vieme, že sin (π / 2) = 1 a cos (π / 2) = 0.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Kalkulačka spolupráce
Vyskúšajte niekoľko príkladov, ktoré pracujú s vlastnými kofunkciami. Ale ak uviaznete, Math Celebrity má kalkulačku kofunkcie, ktorá ukazuje postupné riešenia problémov s kofunkciou.
Šťastný výpočet!