Obsah
Akonáhle začnete riešiť algebraické rovnice, ktoré zahŕňajú polynómy, schopnosť rozpoznávať špeciálne, ľahko faktorizované formy polynómov sa stáva veľmi užitočnou. Jedným z najužitočnejších polynómov „s jednoduchým faktorom“, ktorý je možné zistiť, je dokonalý štvorec alebo trojuholník, ktorý je výsledkom zarovnania binomického poľa. Akonáhle ste identifikovali dokonalý štvorec, jeho faktorovanie do jeho jednotlivých komponentov je často nevyhnutnou súčasťou procesu riešenia problémov.
Identifikácia Perfect Square Trinomials
Predtým, ako dokážete zrealizovať dokonalý trojuholník, musíte sa ho naučiť spoznať. Dokonalý štvorec môže mať jednu z dvoch foriem:
Medzi príklady dokonalých štvorcov, ktoré môžete vidieť v „skutočnom svete“ matematických problémov, patrí:
Aký je kľúč na rozpoznanie týchto dokonalých štvorcov?
Skontrolujte prvú a tretiu podmienku trinomiálu. Sú to obe štvorce? Ak áno, zistite, z čoho sú štvorce. Napríklad v druhom príklade „reálneho sveta“ uvedenom vyššie, y2 - 2_y_ + 1, tento termín y2 je očividne námestím y. Termín 1 je, pravdepodobne menej, štvorec 1, pretože 12 = 1.
Vynásobte korene prvého a tretieho členu spolu. Ak chcete pokračovať v tomto príklade y a 1, čo vám dáva y × 1 = 1_y_ alebo jednoducho y.
Potom vynásobte svoj produkt číslom 2. Pokračujte v príklade a máte 2_y._
Nakoniec porovnajte výsledok posledného kroku so stredným obdobím polynómu. Zhodujú sa? V polynóme y2 - 2_y_ + 1. (Znak je irelevantný; išlo by o zhodu, ak by strednodobý termín bol + 2_y_.)
Pretože odpoveď v kroku 1 bola „áno“ a váš výsledok z kroku 2 sa zhoduje so stredným obdobím polynómu, viete, že sa pozeráte na dokonalý trojuholník štvorca.
Faktoring dokonalého trojuholníka
Akonáhle budete vedieť, že sa pozeráte na dokonalý trojhranný trojuholník, proces faktoringu je celkom jednoduchý.
Identifikujte korene alebo čísla, ktoré sa zaokrúhlia na druhú, v prvom a treťom člene trojice. Zvážte ďalší z vašich príkladov trinomiálov, o ktorých už viete, že je ideálnym štvorcom X2 + 8_x_ + 16. Je zrejmé, že číslo, ktoré je v prvom semestri na druhú, je X, Počet v druhej polovici funkčného obdobia je 4, pretože 42 = 16.
Spomeňte si na vzorce a získajte dokonalé štvorcové trojhranníky. Viete, že vaše faktory budú mať buď formu ( + b)( + b) alebo formulár ( – b)( – b), kde a b sú čísla na druhú a tretiu hodnotu. Takže môžete napísať svoje faktory tak, vynechajte príznaky uprostred každého obdobia zatiaľ:
( ? b)( ? b) = 2 ? 2_ab_ + b2
Ak chcete pokračovať v príklade nahradením koreňov aktuálneho trojice, máte:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Skontrolujte stredné obdobie trinomiálu. Má kladné alebo záporné znamienko (alebo, inak povedané, je pridané alebo odčítané)? Ak má pozitívne znamienko (alebo sa pridáva), potom oba faktory trinomiálu majú v strede znamienko plus. Ak má záporné znamienko (alebo sa odpočíta), obidva faktory majú záporné znamienko v strede.
Stredný termín súčasného príkladu trinomiálu je 8_x_ - jeho pozitívny - preto ste teraz urobili dokonalú štvorcovú trojicu:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Skontrolujte svoju prácu vynásobením týchto dvoch faktorov. Aplikáciou FOIL alebo prvej, vonkajšej, vnútornej, poslednej metódy získate:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Zjednodušenie poskytne výsledok X2 + 8_x_ + 16, čo sa zhoduje s vašim trojičným. Faktory sú teda správne.