Obsah
- Nájdite stredný uhol od dĺžky a obvodu oblúka
- Nájdite stredný uhol z dĺžky a polomeru oblúka
- Veta o strednom uhle
- Výnimka z vety o strednom uhle
- zviditeľniť
Predstavte si, že stojíte uprostred dokonale kruhovej arény. Pozeráte sa smerom k davom po stranách arény a na jednom sedadle si všimnete svojho najlepšieho priateľa a svojho učiteľa matematiky na strednej škole o pár sekcií. Aká je vzdialenosť medzi nimi a vami? Ako ďaleko by ste museli chodiť, aby ste mohli cestovať zo sedadla svojich priateľov do miesta vašich učiteľov? Aké sú miery uhlov medzi vami? Všetky tieto otázky sa týkajú stredných uhlov.
stredný uhol je uhol, ktorý sa vytvára, keď sú dva polomery nakreslené od stredu kružnice k jej okrajom. V tomto príklade sú dva polomery vaše dve línie pohľadu od vás, uprostred arény, od vášho priateľa a vaša línia pohľadu od vášho učiteľa. Uhol, ktorý sa vytvára medzi týmito dvoma čiarami, je stredovým uhlom. Je to uhol najbližší k stredu kruhu.
Váš priateľ a váš učiteľ sú usadení pozdĺž obvod alebo hrany kruhu. Cesta pozdĺž arény, ktorá ich spája, je oblúk.
Nájdite stredný uhol od dĺžky a obvodu oblúka
Existuje niekoľko rovníc, pomocou ktorých môžete nájsť stredový uhol. Niekedy dostanete dĺžka oblúka, vzdialenosť po obvode medzi dvoma bodmi. (V príklade je to vzdialenosť, ktorú by ste museli prejsť okolo arény, aby ste sa dostali od svojho priateľa k učiteľovi.) Vzťah medzi centrálnym uhlom a dĺžkou oblúka je:
(dĺžka oblúka) ÷ obvod = (stredový uhol) ÷ 360 °
Stredový uhol bude v stupňoch.
Tento vzorec má zmysel, ak na to myslíte. Dĺžka oblúka z celkovej dĺžky okolo kruhu (obvod) je rovnaká ako uhol oblúka z celkového uhla v kruhu (360 stupňov).
Aby ste mohli túto rovnicu efektívne využívať, musíte poznať obvod kruhu. Tento vzorec však môžete použiť aj na zistenie dĺžky oblúka, ak poznáte stredný uhol a obvod. Alebo, ak máte dĺžku oblúka a stredový uhol, nájdete obvod!
Nájdite stredný uhol z dĺžky a polomeru oblúka
Na nájdenie stredového uhla môžete použiť aj polomer kruhu a dĺžku oblúka. Zavolajte mieru stredového uhla 9. potom:
9 = s ÷ r, kde s je dĺžka oblúka ar je polomer. 9 sa meria v radiánoch.
Túto rovnicu môžete znova usporiadať v závislosti od informácií, ktoré máte. Dĺžku oblúka nájdete od polomeru a stredového uhla. Alebo nájdete polomer, ak máte stredový uhol a dĺžku oblúka.
Ak chcete dĺžku oblúka, vyzerá táto rovnica takto:
s = 9 * rkde s je dĺžka oblúka, r je polomer a 9 je stredový uhol v radiánoch.
Veta o strednom uhle
Umožňuje pridať zvrat do vášho príkladu, keď ste v aréne so svojím susedom a svojím učiteľom. Teraz je tu tretia osoba, ktorú poznáte v aréne: váš sused hneď vedľa. A ešte jedna vec: Sú za vami. Musíte sa otočiť, aby ste ich videli.
Váš sused je približne v aréne od vášho priateľa a učiteľa. Z pohľadu vašich susedov je to uhol tvorený ich zornou čiarou k priateľovi a ich zornou čiarou k učiteľovi. To sa nazýva vpísaný uhol. vpísaný uhol je uhol tvorený tromi bodmi pozdĺž obvodu kruhu.
Veta o strednom uhle vysvetľuje vzťah medzi veľkosťou stredného uhla, ktorý ste si vytvorili, a vloženým uhlom, ktorý vytvoril váš sused. Veta o strednom uhle uvádza, že stredný uhol je dvojnásobok zapísaného uhla, (To predpokladá, že používate rovnaké sledované parametre. Pozeráte sa na učiteľa aj priateľa, nie na nikoho iného).
Tu je ďalší spôsob, ako to napísať. Umožňuje zavolať vašim priateľom miesto A, miesto vašich učiteľov B a miesto vašich susedov C. V strede môžete byť O.
Takže pre tri body A, B a C pozdĺž obvodu kružnice a bodu O v strede je stredný uhol ∠AOC dvojnásobne zapísaný uhol ∠ABC.
To znamená, ∠AOC = 2∠ABC.
To dáva zmysel. Ste bližšie k priateľovi a učiteľovi, takže sa na vás pozerajú ďalej (väčší uhol). Vášmu susedovi na druhej strane štadióna vyzerajú oveľa bližšie k sebe (menší uhol).
Výnimka z vety o strednom uhle
Teraz môžete posunúť veci nahor. Váš sused na druhej strane arény sa začne pohybovať! Stále majú priamu viditeľnosť s priateľom a učiteľom, ale čiary a uhly sa pri pohybe suseda menia. Hádajte čo: Pokiaľ sused zostane mimo oblúka medzi priateľom a susedom, veta o centrálnom uhle stále platí!
Čo sa však stane, keď sa sused pohne medzi priateľ a učiteľ? Teraz je váš sused vnútri menší oblúk, relatívne malá vzdialenosť medzi priateľom a učiteľom v porovnaní s väčšou vzdialenosťou okolo zvyšku arény. Potom dosiahnete výnimku z teórie centrálneho uhla.
výnimka z teórie centrálneho uhla uvádza, že keď je bod C, sused, vo vnútri menšieho oblúka, je zapísaný uhol doplnkom polovice stredového uhla. (Nezabudnite, že uhol a jeho doplnok pridať na 180 stupňov.)
takže: vnorený uhol = 180 - (stredný uhol ÷ 2)
alebo: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
zviditeľniť
Math Open Reference má nástroj na vizualizáciu centrálnej uhlovej vety a jej výnimky. Dostanete pretiahnutím „suseda“ do všetkých rôznych častí kruhu a sledujete zmeny uhlov. Vyskúšajte to, ak chcete vizuálnu alebo mimoriadnu prax!