Obsah
Tri metódy, ktoré sa najčastejšie používajú na riešenie systémov rovníc, sú substitúcia, eliminácia a zväčšenie matíc. Substitúcia a eliminácia sú jednoduché metódy, ktoré dokážu efektívne vyriešiť väčšinu systémov dvoch rovníc v niekoľkých jednoduchých krokoch. Metóda rozšírených matíc vyžaduje viac krokov, ale jej aplikácia sa rozširuje na väčší počet systémov.
zámena
Substitúcia je metóda riešenia systémov rovníc odstránením všetkých premenných okrem jednej z rovníc a následným vyriešením tejto rovnice. To sa dosiahne izoláciou druhej premennej v rovnici a následným nahradením týchto premenných inou rovnicou. Napríklad, na vyriešenie systému rovníc x + y = 4, 2x - 3y = 3, izolujte premennú x v prvej rovnici, aby ste dostali x = 4 - y, potom túto hodnotu y nahraďte do druhej rovnice a získajte 2 (4 - y) - 3y = 3. Táto rovnica sa zjednodušuje na -5y = -5 alebo y = 1. Ak chcete nájsť hodnotu x: x + 1 = 4 alebo x = 3, pripojte túto hodnotu k druhej rovnici.
eliminácia
Eliminácia je ďalší spôsob riešenia systémov rovníc prepísaním jednej z rovníc iba z hľadiska jednej premennej. Eliminačná metóda to dosahuje pridaním alebo odčítaním rovníc od seba, aby sa vyradila jedna z premenných. Napríklad pridanie rovníc x + 2y = 3 a 2x - 2y = 3 poskytne novú rovnicu, 3x = 6 (všimnite si, že výrazy y boli zrušené). Systém sa potom rieši rovnakými metódami ako pri substitúcii. Ak nie je možné zrušiť premenné v rovniciach, bude potrebné vynásobiť celú rovnicu koeficientom, aby sa koeficienty zhodovali.
Rozšírená matica
Rozšírené matice sa môžu tiež použiť na riešenie systémov rovníc. Rozšírená matica sa skladá z riadkov pre každú rovnicu, stĺpcov pre každú premennú a rozšíreného stĺpca, ktorý obsahuje konštantný člen na druhej strane rovnice. Napríklad rozšírená matica pre systém rovníc 2x + y = 4, 2x - y = 0 je, ...].
Určenie riešenia
Ďalší krok zahŕňa použitie elementárnych riadkových operácií, ako je vynásobenie alebo delenie riadka konštantou inou ako nula a sčítanie alebo odčítanie riadkov. Cieľom týchto operácií je previesť maticu do tvaru riadka, v ktorom prvý nenulový záznam v každom riadku je 1, položky nad a pod týmto záznamom sú všetky nuly a prvý nenulový záznam pre každú položku riadok je vždy vpravo od všetkých takýchto položiek v riadkoch nad ním. Formulár riadku pre vyššie uvedenú maticu je, ...]. Hodnota prvej premennej je daná prvým riadkom (1x + 0y = 1 alebo x = 1). Hodnota druhej premennej je daná druhým riadkom (0x + 1y = 2 alebo y = 2).
aplikácia
Substitúcia a eliminácia sú jednoduchšie metódy riešenia rovníc a v základnej algebre sa používajú omnoho častejšie ako rozšírené matice. Substitučná metóda je zvlášť užitočná, keď je jedna z premenných už izolovaná v jednej z rovníc. Metóda eliminácie je užitočná, keď je koeficient jednej z premenných vo všetkých rovniciach rovnaký (alebo jeho záporný ekvivalent). Hlavnou výhodou rozšírených matíc je to, že sa dajú použiť na riešenie systémov troch alebo viacerých rovníc v situáciách, keď substitúcia a eliminácia sú buď nemožné alebo nemožné.