Ako vypočítať CG

Obsah

• Ako písať o centre gravitácie
• Ako vypočítať CG trojuholníka
• Centrum gravitácie pre obdĺžnik
• Centrum gravitačnej rovnice
• Triky na nájdenie ťažiska

Predtým, ako sa diskutuje o ťažisku, dovoľte predpokladať niekoľko parametrov. Jeden, ktorý sa zaoberá objektom, ktorý je na zemskom povrchu, nie niekde v priestore. A za druhé, že objekt je primerane malý - povedzme, nie kozmická loď zaparkovaná na Zemi, ktorá čaká na vzlet.Akonáhle sú všetky tieto mimozemské vplyvy odstránené, ste v dobrej pozícii na výpočet ťažiska geometrických objektov pomocou relatívne jednoduchého vzorca - a v skutočnosti práve z dôvodu práve nastavených podmienok použijete ten istý vzorec na vyhľadanie ťažiska ako nájsť ťažisko.

Ako písať o centre gravitácie

Ťažisko v dvojrozmernej rovine sa obvykle označuje súradnicami (x_cg, y_cg) alebo niekedy podľa premenných X a y s barom nad nimi. Pojem „ťažisko“ sa niekedy označuje skratkou cg.

Ako vypočítať CG trojuholníka

Vaša kniha z matematiky alebo fyziky bude mať často grafy na určenie stredu rovnováhy určitých čísel. Ale pre niektoré bežné geometrické tvary môžete použiť vhodný vzorec ťažiska, aby ste našli ťažisko tvarov.

Pri trojuholníkoch leží ťažisko v bode, kde sa pretínajú všetky tri mediány. Ak začnete na jednom vrchole trojuholníka a potom nakreslíte priamku do stredu druhej strany, bude to jedna stredná hodnota. To isté urobte pre ďalšie dva vrcholy a bod, v ktorom sa všetky tri mediány pretínajú, je ťažisko trojuholníkov.

A samozrejme, existuje vzorec. Ak sú súradnice ťažiska trojuholníkov (x_cg, y_cg), nájdete jej súradnice takto:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Kde (x₁, y₁), (X₂, y₂) a (x₃, y₃) sú súradnice troch vrcholov trojuholníkov. Môžete si vybrať, ktorý vrchol sa priradí tomu číslu.

Centrum gravitácie pre obdĺžnik

Všimli ste si, že pri hľadaní ťažiska trojuholníka ste práve priemerovali hodnotu súradníc x, potom priemernú hodnotu súradníc y a tieto dva výsledky ste použili ako súradnice vášho ťažiska?

Ak chcete nájsť ťažisko obdĺžnika, urobte to isté. Aby ste však výpočty ešte uľahčili, predpokladajte, že obdĺžnik je orientovaný priamo na karteziánsku súradnicovú rovinu (takže nie je nastavený pod uhlom) a že jeho dolný ľavý vrchol je na začiatku grafu. V takom prípade vyhľadajte (x_cg, y_cg) pre obdĺžnik musíte iba vypočítať:

X_cg = šírka ÷ 2

y_cg = výška ÷ 2

Ak nechcete premiestniť obdĺžnik na začiatok súradnicovej roviny alebo ak z nejakého dôvodu nie je presne rovnobežný s osami súradníc, môžete čeliť tomuto mierne vystrašujúcemu, ale stále účinnému vzorcu na priemerovanie všetkých svojich súradníc x nájsť hodnotu x_cga priemer všetkých súradníc y, aby ste našli hodnotu y_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Centrum gravitačnej rovnice

Čo keď potrebujete vypočítať ťažisko pre tvar, ktorý vyhovuje všetkým vyššie uvedeným predpokladom (v podstate sa nesnažíte robiť literárnu vedu o raketách nájdením ťažiska predmetov mimo vesmíru), ale nespadá do žiadneho z kategórie, ktoré ste práve spomenuli alebo do grafov na zadnej strane knihy? Potom môžete rozdeliť svoj tvar na viac známe tvary a pomocou nasledujúcich rovníc nájsť svoje spoločné ťažisko:

X_cg = (a₁X₁ + a₂X₂ +. , , + a_nX_n) ÷ (a₁ + a₂ +. , , + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. , , + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. , , + a_n)

Alebo inak povedané, x_cg sa rovná ploche sekcie 1-krát jej umiestneniu na osi x, pridanej k oblasti sekcie 2-krát jej umiestneniu, atď., až kým nevrátite plochu a umiestnenie všetkých sekcií; potom vydelte celú sumu celkovou plochou všetkých sekcií. Potom to isté urobte pre y.

Otázka: Ako nájdem oblasť každej sekcie? Rozdelenie zložitého alebo nepravidelného tvaru na známe polygóny vám umožňuje použiť štandardizované vzorce na nájdenie oblasti. Napríklad, ak ste tento tvar rozdelili na obdĺžnikové kusy, môžete použiť plochu vzorca × šírka na nájdenie oblasti každého kusu.

Otázka: Čo je „umiestnenie“ každej sekcie? Poloha každej sekcie je vhodnou súradnicou z ťažiska tejto sekcie. Takže ak chcete₂ (miesto pre segment 2), musíte skutočne uviesť súradnicu y pre ťažisko týchto segmentov. Z tohto dôvodu opäť rozdelíte podivne tvarovaný objekt na známe tvary, pretože pomocou už diskutovaných vzorcov môžete nájsť ťažisko jednotlivých tvarov a potom extrahovať príslušné súradnice.

Otázka: Kam ide môj tvar na súradnicovej rovine? Môžete si vybrať, kde sa váš tvar nachádza na súradnicovej rovine - nezabudnite, že vaše ťažiská odpovedí budú vo vzťahu k rovnakému referenčnému bodu. Najjednoduchšie je umiestniť váš objekt do prvého kvadrantu vášho grafu, ktorého spodná hrana je proti osi x a ľavá hrana proti osi y, takže všetky hodnoty x a y sú kladné, ale tiež dostatočne malé na to, aby boli zvládnuteľné.

Triky na nájdenie ťažiska

Ak sa zaoberáte jedným objektom, intuícia a trocha logiky sú niekedy všetko, čo potrebujete, aby ste našli ťažisko. Napríklad, ak uvažujete o plochom disku, ťažiskom bude stred disku. Vo valci je jeho stred na osi valcov. V prípade obdĺžnika (alebo štvorca) je to bod, v ktorom sa diagonálne čiary zbiehajú.

Možno ste si tu všimli vzorec: Ak má daný predmet líniu symetrie, ťažisko bude na tejto línii. A ak má viac osí symetrie, ťažisko bude tam, kde sa tieto osi pretínajú.

A konečne, ak sa snažíte nájsť ťažisko skutočne zložitého objektu, máte dve možnosti: Buď vytiahnite svoje najlepšie integrály počtu (pozri Zdroje pre trojitý integrál, ktorý predstavuje ťažisko pre nejednotnú hmotu) alebo vložte svoje údaje do účelovej kalkulačky ťažiska. (Pozri Zdroje ako príklad kalkulačky ťažiska pre rádiom riadené lietadlá.)