Obsah
- Polynomy s frakciami definovanými
- Základy faktoringu - distribučné vlastníctvo a metóda FOIL
- Kroky, ktoré je potrebné urobiť pri faktoringu polynómových frakcií
- Vyhodnotenie rovníc čiastočným rozkladom zlomkov
- Zjednodušte menovateľ
- Usporiadanie čitateľa
Najlepší spôsob, ako faktorovať polynómy s frakciami, začína redukciou frakcií na jednoduchšie podmienky. Polynomy predstavujú algebraické výrazy s dvoma alebo viacerými výrazmi, konkrétnejšie súčet viacerých výrazov, ktoré majú rôzne výrazy tej istej premennej. Stratégie, ktoré pomáhajú pri zjednodušovaní polynómov, zahŕňajú faktorovanie najväčšieho spoločného faktora, po ktorom nasleduje zoskupenie rovnice do jej najnižších termínov. To isté platí aj pri riešení polynómov pomocou zlomkov.
Polynomy s frakciami definovanými
Máte tri spôsoby, ako zobraziť frázové polynómy so zlomkami. Prvá interpretácia sa týka polynómov so zlomkami koeficientov. V algebre je koeficient definovaný ako početné číslo alebo konštanta nájdená pred premennou. Inými slovami, koeficienty pre 7a, b a (1/3) c sú 7, 1 a (1/3). Preto by boli dva príklady polynómov s frakčnými koeficientmi:
(1/4) x2 + 6x + 20, ako aj x2 + (3/4) x + (1/8).
Druhá interpretácia „polynómov s frakciami“ sa týka polynómov, ktoré existujú vo forme zlomkov alebo pomerov s čitateľom a menovateľom, kde je čitateľský polynóm delený polynomom menovateľa. Napríklad túto druhú interpretáciu ilustrujú:
(X2 + 7x + 10) ÷ (x2 + 11x + 18)
Tretia interpretácia sa medzitým týka rozkladu parciálnej frakcie, známeho aj ako expanzia parciálnej frakcie. Niekedy sú polynómové frakcie zložité, takže keď sa „rozložia“ alebo „rozdelia“ na jednoduchšie, sú prezentované ako súčty, rozdiely, produkty alebo podiely polynómových frakcií. Na ilustráciu je zložitá polynomická frakcia (8x + 7) ÷ (x2 + x - 2) sa hodnotí rozkladom parciálnej frakcie, ktorý, mimochodom, zahŕňa faktorovanie polynómov, aby bol + v najjednoduchšej forme.
Základy faktoringu - distribučné vlastníctvo a metóda FOIL
Faktory predstavujú dve čísla, ktoré sa pri vynásobení rovnajú tretiemu číslu. V algebraických rovniciach určuje faktoring, ktoré dve veličiny sa vynásobili, aby sa dosiahol daný polynóm. Pri znásobovaní polynómov sa dôsledne sleduje distribučná vlastnosť. Distribučná vlastnosť v zásade umožňuje vynásobiť sumu vynásobením každého čísla jednotlivo pred pridaním produktov. Napríklad si všimnite, ako sa distribučná vlastnosť aplikuje v príklade:
7 (10x + 5), aby sa dospelo k binomickému súboru 70x + 35.
Ak sa však násobia dva binárne súbory, potom sa pomocou metódy FOIL využije rozšírená verzia distribučnej vlastnosti. FOIL predstavuje skratku pre prvý, vonkajší, vnútorný a posledný výraz. Faktoringové polynómy teda znamenajú uskutočnenie metódy FOIL dozadu. Vezmite dva vyššie uvedené príklady s polynómami obsahujúcimi frakčné koeficienty. Vykonanie metódy FOIL spätne na každej z nich vedie k faktorom:
((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) pre prvý polynóm a faktory:
(x + (1/4)) (x + (1/2)) pre druhý polynóm.
Príklad: (1/4) x2 + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)
Príklad: x2 + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))
Kroky, ktoré je potrebné urobiť pri faktoringu polynómových frakcií
Zhora polynomické frakcie zahŕňajú polynóm v čitateli delený polynómom v menovateli. Vyhodnotenie polynómových frakcií si preto vyžaduje najprv faktorovanie polynómu čitateľa a potom faktorovanie polynómu menovateľa. Pomáha nájsť najväčší spoločný faktor (GCF) medzi čitateľom a menovateľom. Keď sa nájde GCF čitateľa aj menovateľa, zruší sa a nakoniec sa celá rovnica zmenší na zjednodušené. Zvážte pôvodný príklad polynomickej frakcie vyššie z
(X2 + 7x + 10) ÷ (x2+ 11x + 18).
Faktoring polynómov čitateľa a menovateľa, aby sa našli výsledky GCF:
÷, pričom GCF je (x + 2).
GCF v čitateli aj v menovateli sa navzájom rušia, aby poskytli konečnú odpoveď v najnižších číslach (x + 5) ÷ (x + 9).
Príklad:
X2 + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)
__ = ___ = __
X2+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)
Vyhodnotenie rovníc čiastočným rozkladom zlomkov
Rozklad čiastočnej frakcie, ktorý zahŕňa faktoring, je spôsob, ako prepísať zložité rovnice polynómovej frakcie do jednoduchšej formy. Opäť sa zobrazuje príklad zhora z
(8x + 7) ÷ (x2 + x - 2).
Zjednodušte menovateľ
Zjednodušte menovateľa, aby ste získali: (8x + 7) ÷.
8x + 7 8x + 7
__ = __
X2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Usporiadanie čitateľa
Ďalej usporiadajte čitateľa tak, aby začal mať v menovateli GCF, aby ste získali:
(3x + 5x - 3 + 10) ÷, ktorá sa ďalej rozširuje na {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.
8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10
____ = ___ = ______ +
(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)
V prípade ľavého doplnku je GCF (x - 1), zatiaľ čo v prípade pravého doplnku je GCF (x + 2), ktoré sa rušia v čitateli a menovateli, ako je vidieť v {+}.
3x - 3 5x + 103(x - 1) 5(x + 2)
___ + __ = ___ +
(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)
Ak sa teda GCF zrušia, konečná zjednodušená odpoveď je +:
3 5
__ + __ ako riešenie rozkladu parciálnej frakcie.
x + 2 x - 1