Ako vypočítať vlastné hodnoty

Obsah

• Matice, vlastné čísla a vlastné vektory: Čo znamenajú
• Ako vypočítať vlastné hodnoty
• Tipy
• Hľadanie vlastných vektorov

Keď dostanete maticu v triede matematiky alebo fyziky, často budete požiadaní o nájdenie vlastných čísel. Ak si nie ste istí, čo to znamená alebo ako to urobiť, úloha je skľučujúca a vyžaduje veľa mätúcich terminológií, ktoré ešte zhoršujú situáciu. Proces výpočtu vlastných čísel však nie je príliš náročný, ak vám vyhovuje riešenie kvadratických (alebo polynomiálnych) rovníc, ak sa naučíte základy matíc, vlastných čísel a vlastných vektorov.

Matice, vlastné čísla a vlastné vektory: Čo znamenajú

Matice sú polia čísel, v ktorých A predstavuje názov generickej matice, napríklad:

( 1 3 )

= ( 4 2 )

Čísla na každej pozícii sa líšia a na ich mieste môžu byť dokonca algebraické výrazy. Je to matica 2 × 2, ale dodávajú sa v rôznych veľkostiach a nemajú vždy rovnaký počet riadkov a stĺpcov.

Zaobchádzanie s maticami sa líši od zaobchádzania s bežnými číslami a existujú osobitné pravidlá na ich násobenie, delenie, sčítanie a odčítanie jeden od druhého. Pojmy „vlastná hodnota“ a „vlastný vlastnosť“ sa v maticovej algebre používajú na označenie dvoch charakteristických veličín s ohľadom na maticu. Tento problém s vlastnou hodnotou vám pomôže pochopiť, čo tento výraz znamená:

∙ proti = λ ∙ proti

je všeobecná matica ako predtým, proti je nejaký vektor a A je charakteristická hodnota. Pozrite sa na rovnicu a všimnite si, že keď násobíte maticu vektorom proti, výsledkom je reprodukcia rovnakého vektora vynásobeného hodnotou λ. Toto je nezvyčajné správanie a získa vektor proti a množstvo λ špeciálne názvy: vlastný vlastník a vlastná hodnota. Toto sú charakteristické hodnoty matice, pretože vynásobením matice vlastným vektorom sa vektor nezmení, okrem násobenia faktorom vlastnej hodnoty.

Ako vypočítať vlastné hodnoty

Ak máte problém s vlastnou hodnotou matice v nejakej forme, nájdenie vlastnej hodnoty je ľahké (pretože výsledkom bude vektor rovnaký ako pôvodný, s výnimkou násobenia konštantným faktorom - vlastnej hodnoty). Odpoveď je nájdená riešením charakteristickej rovnice matice:

det ( – λja) = 0

Kde ja je identifikačná matica, ktorá je prázdna, okrem série 1 s prebiehajúcich diagonálne po matici. „Det“ znamená determinant matice, ktorá pre všeobecnú maticu:

(a b)

= (c d)

Je daný

det = ad – bc

Charakteristická rovnica teda znamená:

(a - λ b)

det ( – λja) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Ako príklad môžeme uviesť maticu as:

( 0 1 )

= (−2 −3 )

To znamená:

det ( – λja) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Riešenia pre λ sú vlastné čísla a vy to riešite ako každá kvadratická rovnica. Riešenia sú A = - 1 a A = - 2.

Tipy

Hľadanie vlastných vektorov

Nájsť vlastné vektory je podobný proces. Pomocou rovnice:

( – λ) ∙ proti = 0

s každou vlastnou hodnotou, ktorú ste našli. To znamená:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

( – λ) ∙ proti = (cd - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Môžete to vyriešiť tak, že postupne zvážite každý riadok. Potrebujete iba pomer proti₁ na proti₂, pretože bude pre nekonečne veľa potenciálnych riešení proti₁ a proti₂.