Obsah
V matematike je sekvencia ľubovoľný reťazec čísel usporiadaný v rastúcom alebo klesajúcom poradí. Sekvencia sa stáva geometrickou sekvenciou, keď môžete získať každé číslo vynásobením predchádzajúceho čísla spoločným faktorom. Napríklad série 1, 2, 4, 8, 16. , , je geometrická postupnosť so spoločným faktorom 2. Ak vynásobíte akékoľvek číslo v sérii číslom 2, dostanete ďalšie číslo. Naopak, sekvencia 2, 3, 5, 8, 14, 22. , , nie je geometrický, pretože medzi číslami neexistuje spoločný faktor. Geometrická sekvencia môže mať spoločný zlomkový faktor, v takom prípade je každé nasledujúce číslo menšie ako to, ktoré predchádzalo. 1, 1/2, 1/4, 1/8. , , je príklad. Spoločným faktorom je 1/2.
Skutočnosť, že geometrická postupnosť má spoločný faktor, vám umožňuje robiť dve veci. Prvým je výpočet ľubovoľného náhodného prvku v sekvencii (ktorý matematici radi nazývajú „n-tý“) a druhým je nájdenie súčtu geometrickej postupnosti až po n-tý prvok. Ak sčítate postupnosť tak, že medzi každú dvojicu výrazov vložíte znamienko plus, zmeníte sekvenciu na geometrickú sériu.
Nájdenie deviateho prvku v geometrickej sérii
Akékoľvek geometrické rady môžete všeobecne reprezentovať nasledujúcim spôsobom:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
kde "a" je prvý termín v rade a "r" je spoločný faktor. Ak to chcete skontrolovať, zvážte sériu, v ktorej a = 1 ar = 2. Získate 1 + 2 + 4 + 8 + 16. , , funguje to!
Po ich stanovení je teraz možné odvodiť vzorec pre n-tý člen v poradí (xn).
Xn = ar(N-1)
Exponent je n - 1, skôr ako n, aby sa umožnilo, aby prvý člen v poradí bol zapísaný ako ar0, čo sa rovná „a“.
Skontrolujte to vypočítaním štvrtého funkčného obdobia v sérii príkladov.
X4 = (1) • 23 = 8.
Výpočet súčtu geometrickej postupnosti
Ak chcete spočítať divergentnú postupnosť, ktorá je spoločná s prídelom väčším ako 1 alebo menej ako -1, môžete tak urobiť len do konečného počtu pojmov. Je však možné vypočítať súčet nekonečnej konvergentnej sekvencie, ktorá je taká, ktorá má spoločný pomer medzi 1 a -1.
Ak chcete vyvinúť vzorec geometrického súčtu, začnite uvažovaním o tom, čo robíte. Hľadáte celkom nasledujúcu sériu doplnkov:
a + ar + ar2 + ar3 +. , , ar(N-1)
Každý člen v sérii je arka k sa pohybuje od 0 do n-1. Vzorec pre súčet sérií využíva veľké znamienko sigma - ∑ - čo znamená pridať všetky výrazy od (k = 0) do (k = n - 1).
Σark = a
Ak to chcete skontrolovať, zvážte súčet prvých 4 výrazov geometrickej série začínajúci sa 1 a majúci spoločný faktor 2. Vo vyššie uvedenom vzorci a = 1, r = 2 an = 4. Po pripojení týchto hodnôt získať:
1 • = 15
Toto sa dá ľahko overiť pridaním čísiel do série sami. V skutočnosti, keď potrebujete súčet geometrických radov, je zvyčajne jednoduchšie pridať čísla sami, ak existuje iba niekoľko výrazov. Ak má séria veľké množstvo výrazov, je oveľa jednoduchšie použiť vzorec geometrického súčtu.