Obsah
Jednou z dôležitých operácií, ktorú robíte v poli, je nájdenie derivátov. Derivácia funkcie sa nazýva aj miera zmeny tejto funkcie. Napríklad, ak x (t) je poloha automobilu v akomkoľvek čase t, potom derivát x, ktorý je napísaný dx / dt, je rýchlosť automobilu. Derivát môže byť tiež vizualizovaný ako sklon priamky dotýkajúci sa grafu funkcie. Na teoretickej úrovni takto matematici nachádzajú deriváty. V praxi matematici používajú súbory základných pravidiel a vyhľadávacích tabuliek.
Derivát ako svah
Sklon priamky medzi dvoma bodmi je vzostup alebo rozdiel v hodnotách y vydelený priebehom alebo rozdiel v hodnotách x. Sklon funkcie y (x) pre určitú hodnotu x je definovaný ako sklon priamky, ktorá je dotyčná s funkciou v bode. Na výpočet sklonu vytvoríte priamku medzi bodom a najbližším bodom, kde h je veľmi malé číslo. Pre tento riadok je beh alebo zmena hodnoty x h a nárast alebo zmena hodnoty y je y (x + h) - y (x). V dôsledku toho je sklon y (x) v bode približne rovný / = / h. Ak chcete dosiahnuť presný sklon, vypočítajte hodnotu sklonu, keď sa h zmenšuje a zmenšuje, až po „limit“, kde klesá na nulu. Takto vypočítaný sklon je derivátom y (x), ktorý sa zapisuje ako y '(x) alebo dy / dx.
Derivácia výkonovej funkcie
Metódu sklon / limit môžete použiť na výpočet derivátov funkcií, kde y sa rovná x a a alebo (y) (x) = x ^ a. Napríklad, ak y sa rovná x kocky, y (x) = x ^ 3, potom dy / dx je limit, keď h ide na nulu z / h. Rozšírenie (x + h) ^ 3 dáva / h, čo sa po rozdelení h zníži na 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2. V limite, keď h ide na nulu, všetky výrazy, ktoré v nich majú h, tiež klesnú na nulu. Takže y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Môžete to urobiť pre hodnoty iné ako 3 a vo všeobecnosti môžete preukázať, že d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivát z výkonovej rady
Mnoho funkcií možno písať ako to, čo sa nazýva mocenská séria, ktoré sú súčtom nekonečných číselných výrazov, pričom každá z nich má tvar C (n) x ^ n, kde x je premenná, n je celé číslo a C ( n) je konkrétne číslo pre každú hodnotu n. Napríklad, séria výkonov pre sínusovú funkciu je Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., kde „...“ znamená termíny pokračujúce do nekonečna. Ak poznáte výkonové rady pre určitú funkciu, na výpočet derivácie funkcie môžete použiť deriváciu výkonu x ^ n. Napríklad derivát Sin (x) sa rovná 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., čo je náhodou mocenská séria pre Cos (x).
Deriváty z tabuliek
Deriváty základných funkcií, ako sú sily ako x ^ a, exponenciálne funkcie, log funkcie a trig funkcie, sa nachádzajú pomocou metódy sklonu / limitu, metódy série mocností alebo iných metód. Tieto deriváty sú potom uvedené v tabuľkách. Napríklad sa môžete pozrieť, že derivát Sin (x) je Cos (x). Ak sú komplexné funkcie kombináciou základných funkcií, potrebujete špeciálne pravidlá, ako napríklad pravidlo reťazca a produktové pravidlo, ktoré sú uvedené aj v tabuľkách. Napríklad pomocou pravidla reťazca zistíte, že derivát Sin (x ^ 2) je 2xCos (x ^ 2). Pomocou pravidla produktu zistíte, že derivát xSin (x) je xCos (x) + Sin (x). Pomocou tabuliek a jednoduchých pravidiel nájdete derivát akejkoľvek funkcie. Keď je však funkcia mimoriadne zložitá, vedci sa niekedy obracajú na počítačové programy o pomoc.