Euklidovská vzdialenosť je vzdialenosť medzi dvoma bodmi v euklidovskom priestore. Euklidovský priestor pôvodne vymyslel grécky matematik Euclid okolo 300 ° C.C.E. študovať vzťahy medzi uhlami a vzdialenosťami. Tento systém geometrie sa v súčasnosti používa a je to systém, ktorý študenti stredných škôl študujú najčastejšie. Euklidovská geometria sa osobitne uplatňuje na priestory dvoch a troch rozmerov. Môže sa však ľahko zovšeobecniť na dimenzie vyššieho poriadku.
Vypočítajte euklidovskú vzdialenosť pre jednu dimenziu. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v jednej dimenzii je jednoducho absolútna hodnota rozdielu medzi ich súradnicami. Matematicky sa to zobrazuje ako | p1 - q1 | kde p1 je prvá súradnica prvého bodu a q1 je prvá súradnica druhého bodu. Používame absolútnu hodnotu tohto rozdielu, pretože vzdialenosť sa zvyčajne považuje za nezápornú hodnotu.
Vezmite dva body P a Q v dvojrozmernom euklidovskom priestore. Opíšeme P so súradnicami (p1, p2) a Q so súradnicami (q1, q2). Teraz skonštruujte úsečku s koncovými bodmi P a Q. Tento úsečka vytvorí preponu pravouhlého trojuholníka. Pri rozširovaní výsledkov získaných v kroku 1 sme si všimli, že dĺžky stehien tohto trojuholníka sú dané | p1 - q1 | a | p2 - q2 |. Vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi bude potom daná ako dĺžka prepony.
Na určenie dĺžky prepony v kroku 2 použite Pythagorovu vetu. Táto veta uvádza, že c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, kde c je dĺžka prepony pravouhlých trojuholníkov a a, b sú dĺžky ostatných dve nohy. Takto sa získa c = (a2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((pi - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Vzdialenosť medzi 2 bodmi P = (p1, p2) a Q = (q1, q2) v dvojrozmernom priestore je preto ((pi - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Výsledky z kroku 3 rozšírte na trojrozmerný priestor. Vzdialenosť medzi bodmi P = (p1, p2, p3) a Q = (q1, q2, q3) sa potom dá udávať ako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Zovšeobecnite riešenie v kroku 4 na vzdialenosť medzi dvoma bodmi P = (p1, p2, ..., pn) a Q = (q1, q2, ..., qn) v rozmeroch n. Toto všeobecné riešenie možno uviesť ako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).