Obsah
- Definícia nerovnosti absolútnej hodnoty
- Ako vyriešiť nerovnosť absolútnej hodnoty
- Nerovnosti absolútnej hodnoty bez riešenia
- Intervalová notácia
Riešenie nerovností s absolútnymi hodnotami je podobné riešeniu rovníc s absolútnymi hodnotami, je však treba pamätať na niekoľko ďalších podrobností. Pomáha už pohodlne riešiť rovnice s absolútnymi hodnotami, ale je to v poriadku, ak sa ich tiež učíte spolu!
Definícia nerovnosti absolútnej hodnoty
Po prvé, an absolútna hodnota nerovnosti je nerovnosť, ktorá zahŕňa vyjadrenie absolútnej hodnoty. Napríklad,
| 5 + X | - 10> 6 je absolútna hodnota nerovnosti, pretože má znak nerovnosti,> a výraz absolútnej hodnoty, | 5 + X |.
Ako vyriešiť nerovnosť absolútnej hodnoty
kroky k riešeniu absolútnej hodnoty nerovnosti sú podobné krokom na riešenie rovnice absolútnej hodnoty:
Krok 1: Izolovajte výraz absolútnej hodnoty na jednej strane nerovnosti.
Krok 2: Vyriešiť pozitívnu „verziu“ nerovnosti.
Krok 3: Vyriešte negatívnu „verziu“ nerovnosti vynásobením množstva na druhej strane nerovnosti koeficientom -1 a otočením znamenia nerovnosti.
To je veľa, aby ste vzali všetky naraz, takže tu je príklad, ktorý vás prevedie jednotlivými krokmi.
Vyriešiť nerovnosť pre X: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Ak to chcete urobiť, získajte | 5 + 5_x_ | sám na ľavej strane nerovnosti. Jediné, čo musíte urobiť, je pridať 3 na každú stranu:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Teraz máme dve „verzie“ nerovnosti, ktorú musíme vyriešiť: pozitívnu „verziu“ a negatívnu „verziu“.
V tomto kroku si dobre predstavte, že veci vyzerajú takto: 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Je to jednoduchá nerovnosť; musíš to vyriešiť X ako zvyčajne. Odčítajte 5 od oboch strán a potom vydelte obe strany 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (odčítajte päť od oboch strán)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (delte obe strany piatimi)
X > 0.
Nie zlé! Jedným z možných riešení našej nerovnosti je to X > 0. Teraz, keď ide o absolútne hodnoty, jeho čas zvažuje inú možnosť.
Aby sme pochopili tento ďalší bit, pomáha si spomenúť, čo znamená absolútna hodnota. Absolútna hodnota meria vzdialenosť čísel od nuly. Vzdialenosť je vždy kladná, takže 9 je deväť jednotiek od nuly, ale −9 je tiež deväť jednotiek od nuly.
Takže | 9 | = 9, ale | −9 | = 9.
Teraz späť k vyššie uvedenému problému. Z vyššie uvedenej práce vyplynulo, že 5 + 5_x_ | > 5; inými slovami, absolútna hodnota „niečoho“ je vyššia ako päť. Teraz bude akékoľvek kladné číslo väčšie ako päť ďalej od nuly ako päť. Prvou možnosťou teda bolo, že „niečo“ 5 + 5_x_ je väčšie ako 5.
To znamená: 5 + 5_x_> 5.
To je vyššie uvedený scenár v kroku 2.
Teraz premysli trochu ďalej. Čo iného je päť jednotiek od nuly? No, záporných päť je. A čokoľvek ďalej pozdĺž číselnej línie od zápornej päťky bude ešte ďalej od nuly. Takže naše „niečo“ môže byť záporné číslo, ktoré je ďalej od nuly ako záporné číslo päť. To znamená, že by to bolo znejúce číslo, ale technicky menej ako záporné päť, pretože sa pohybuje v zápornom smere na číselnej čiare.
Takže naše „niečo“ 5 + 5x môže byť menšie ako -5.
5 + 5_x_ <-5
Najrýchlejším spôsobom, ako to urobiť algebraicky, je vynásobiť množstvo na druhej strane nerovnosti 5 zápornou hodnotou a potom prevrátiť znamenie nerovnosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Potom vyriešite ako obvykle.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (odčítajte 5 od oboch strán)
5_x_ <-10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
X < −2.
Takže dve možné riešenia tejto nerovnosti sú X > 0 alebo X <-2. Skontrolujte sa zapojením niekoľkých možných riešení, aby ste sa uistili, že nerovnosť stále platí.
Nerovnosti absolútnej hodnoty bez riešenia
Existuje scenár, v ktorom by bol žiadne riešenia absolútnej hodnotovej nerovnosti, Pretože absolútne hodnoty sú vždy kladné, nemôžu byť rovnaké alebo nižšie ako záporné čísla.
Takže | X | <-2 má žiadne riešenie pretože výsledok výrazu absolútnej hodnoty musí byť pozitívny.
Intervalová notácia
Ak chcete napísať riešenie nášho hlavného príkladu v intervalová notácia, zamyslite sa nad tým, ako vyzerá riešenie na číselnom riadku. Naše riešenie bolo X > 0 alebo X <-2. Na číslovke je to otvorená bodka na 0, s čiarou siahajúcou do kladnej nekonečna a otvorená bodka v -2 s čiarou siahajúcou preč do zápornej nekonečna. Tieto riešenia smerujú od seba navzájom, nie k sebe, takže každý kus berte osobitne.
Pre x> 0 na číselnej čiare je tu otvorená bodka na nule a potom čiara vyčnievajúca do nekonečna. V intervalovom zápise je otvorená bodka znázornená v zátvorkách () a uzavretá bodka alebo nerovnosti s ≥ alebo ≤ by mali používať zátvorky,. Tak pre X > 0, zapíš (0, ∞).
Druhá polovica, X <−2, na číslici je otvorená bodka v −2 a potom šípka siahajúca až na −∞. V intervalovom zápise to je (−∞, −2).
„Alebo“ v intervalovom zápise je znak odboru, ∪.
Takže riešenie v intervalovom zápise je (−∞, −2) ∪ (0, ∞).