Ako nájsť korene polynómu

Obsah

• Koľko koreňov?
• varovanie
• Nájsť korene podľa faktoringu: Príklad 1
• Nájsť korene podľa faktoringu: Príklad 2
• Nájsť koreňov grafom

Korene polynómu sa tiež nazývajú jeho nuly, pretože korene sú X hodnoty, pri ktorých sa funkcia rovná nule. Pokiaľ ide o skutočné nájdenie koreňov, máte k dispozícii viac techník; faktoring je metóda, ktorú budete používať najčastejšie, aj keď grafy môžu byť tiež užitočné.

Koľko koreňov?

Preskúmajte termín polynómu s najvyšším stupňom - ​​to je termín s najvyšším exponentom. Tento exponent je koľko koreňov bude mať polynóm. Ak je najvyšším exponentom vo vašom polynóme 2, budú mať dva korene; ak je najvyšším exponentom 3, bude mať tri korene; a tak ďalej.

varovanie

Nájsť korene podľa faktoringu: Príklad 1

Najuniverzálnejší spôsob, ako nájsť korene, je čo najviac faktorizovať váš polynóm a potom nastaviť každý člen na nulu. To dáva oveľa zmysel, akonáhle ste nasledovali niekoľko príkladov. Zvážte jednoduchý polynóm X² - 4_x: _

Krátke vyšetrenie ukazuje, že môžete faktorovať X z oboch podmienok polynómu, ktorý vám dáva:

X(X – 4)

Nastavte každý člen na nulu. To znamená riešenie pre dve rovnice:

X = 0 je prvý termín nastavený na nulu a

X - 4 = 0 je druhý člen nastavený na nulu.

Už máte riešenie prvého funkčného obdobia. ak X = 0, potom sa celý výraz rovná nule. tak X = 0 je jeden z koreňov alebo núl polynómu.

Teraz zvážte druhý termín a vyriešite ho X, Ak pridáte 4 na obe strany, budete mať:

X - 4 + 4 = 0 + 4, čo zjednodušuje:

X = 4. Takže ak X = 4, potom sa druhý faktor rovná nule, čo znamená, že celý polynóm sa tiež rovná nule.

Pretože pôvodný polynóm bol druhého stupňa (najvyšším exponentom boli dva), viete, že pre tento polynóm existujú iba dva možné korene. Obaja ste ich už našli, takže ich stačí len uviesť v zozname:

X = 0, X = 4

Nájsť korene podľa faktoringu: Príklad 2

Tu je jeden príklad toho, ako nájsť korene pomocou faktoringu, pomocou nejakej efektnej algebry pozdĺž cesty. Zvážte polynóm X⁴ - 16. Stručný pohľad na jeho exponentov vám ukazuje, že pre tento polynóm by mali byť štyri korene; teraz je čas ich nájsť.

Všimli ste si, že tento polynóm možno prepísať ako rozdiel štvorcov? Takže namiesto X⁴ - 16, máte:

(X²)² – 4²

Ktorý pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov ovplyvňuje nasledujúce:

(X² – 4)(X² + 4)

Prvý termín je opäť rozdiel štvorcov. Takže aj keď nemôžete ďalej výraz na pravej strane faktorovať, môžete ho naľavo o krok ďalej:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Teraz je čas nájsť nuly. Je zrejmé, že ak X = 2, prvý faktor sa bude rovnať nule, a tak sa celý výraz bude rovnať nule.

Podobne, ak X = -2, druhý faktor sa bude rovnať nule, a teda aj celý výraz.

tak X = 2 a X = -2 sú obe nuly alebo korene tohto polynómu.

Ale čo ten posledný termín? Pretože má exponent „2“, mal by mať dva korene. Tento výraz však nemôžete ovplyvniť pomocou skutočných čísel, na ktoré ste zvyknutí. Museli by ste použiť veľmi pokročilý matematický koncept nazývaný imaginárne čísla alebo, ak uprednostňujete, zložité čísla. To je ďaleko nad rámec vašej súčasnej matematickej praxe, takže teraz stačí poznamenať, že máte dva skutočné korene (2 a -2) a dva imaginárne korene, ktoré necháte nedefinované.

Nájsť koreňov grafom

Korene môžete nájsť alebo aspoň odhadnúť pomocou grafu. Každý koreň predstavuje miesto, kde graf funkcie prechádza X Os. Takže, ak graf z riadku a potom na vedomie X súradnice, kde čiara prechádza X osi, môžete vložiť odhad X hodnoty týchto bodov do vašej rovnice a skontrolujte, či ste ich dostali správne.

Zoberme si prvý príklad, ktorý ste pracovali pre polynóm X² - 4_x_. Ak ho opatrne vytiahnete, uvidíte, že čiara prechádza cez X os na X = 0 a X = 4. Ak zadáte každú z týchto hodnôt do pôvodnej rovnice, dostanete:

0² - 4 (0) = 0, tak X = 0 bola platná nula alebo koreň tohto polynómu.

4² - 4 (4) = 0, takže X = 4 je tiež platná nula alebo koreň tohto polynómu. A pretože polynóm bol stupňa 2, viete, že môžete prestať hľadať dva korene.