Obsah
- TL; DR (príliš dlho; neprečítané)
- Čo je komplexné číslo?
- Základné pravidlá pre algebru s komplexnými číslami
- Delenie komplexných čísel
- Zjednodušenie zložitých čísel
Algebra často zahŕňa zjednodušenie výrazov, ale niektoré výrazy sú mätúcejšie ako iné. Komplexné čísla zahŕňajú množstvo známe ako ja, „imaginárne“ číslo s majetkom ja = √ − 1. Ak musíte jednoducho vyjadriť zložité číslo, môže sa to zdať skľučujúce, ale po naučení základných pravidiel je to celkom jednoduchý proces.
TL; DR (príliš dlho; neprečítané)
Zjednodušte zložité čísla dodržiavaním pravidiel algebry s komplexnými číslami.
Čo je komplexné číslo?
Komplexné čísla sú definované ich zahrnutím do ja termín, ktorý je druhou odmocninou mínus jeden. V matematike na základnej úrovni neexistujú štvorcové korene záporných čísel, ale občas sa objavujú v problémoch s algebrou. Všeobecná podoba komplexného čísla ukazuje ich štruktúru:
z = + bi
Kde z označuje komplexné číslo, predstavuje akékoľvek číslo (nazývané „skutočná“ časť) a b predstavuje ďalšie číslo (nazývané „imaginárna“ časť), ktoré môže byť kladné alebo záporné. Napríklad komplexné číslo je:
z = 2 −4_i_
Pretože všetky druhé odmocniny záporných čísel môžu byť zastúpené násobkami čísla ja, je to formulár pre všetky zložité čísla. Z technického hľadiska obyčajné číslo len opisuje špeciálny prípad zložitého čísla, kde b = 0, takže všetky čísla sa môžu považovať za zložité.
Základné pravidlá pre algebru s komplexnými číslami
Ak chcete pridať a odčítať zložité čísla, jednoducho pridajte alebo odčítajte reálne a imaginárne časti osobitne. Takže pre zložité čísla z = 2 - 4_i_ a w = 3 + 5_i_, súčet je:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)ja
= 5 + 1_i_ = 5 + ja
Odčítanie čísel funguje rovnakým spôsobom:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)ja
= −1 - 9_i_
Násobenie je ďalšia jednoduchá operácia s komplexnými číslami, pretože funguje ako obyčajné násobenie s výnimkou toho, že si to musíte pamätať ja2 = −1. Takže na výpočet 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Ale od tej doby ja2= −1, potom:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
S úplnými komplexnými číslami (použitie z = 2 - 4_i_ a w = 3 + 5_i_ znova), vynásobíte ich rovnakým spôsobom ako obyčajnými číslami ( + b) (C + d) pomocou metódy „prvá, vnútorná, vonkajšia, posledná“ (FOIL), čím sa získa ( + b) (C + d) = ac + bc + reklama + bd, Všetko, čo musíte pamätať, je zjednodušiť všetky prípady ja2, Napríklad:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (-4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (-4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Delenie komplexných čísel
Rozdelenie komplexných čísel zahŕňa vynásobenie čitateľa a menovateľa frakcie komplexným konjugátom menovateľa. Komplexný konjugát znamená iba verziu komplexného čísla s imaginárnou časťou obrátenou na znamenie. Tak pre z = 2 - 4_i_, komplexný konjugát z = 2 + 4_i_, a pre w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Problém:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Potrebný konjugát je w*. Vydeľte čitateľa a menovateľa takto:
z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
A potom budete postupovať rovnako ako v predchádzajúcej časti. Čitateľ dáva:
(2 - 4_i_) (3 - 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
A menovateľ dáva:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
To znamená:
z / w = (-14 - 22_i_) / 34
= -14/34 - 22_i_/34
= -7/17 - 11_i_ / 17
Zjednodušenie zložitých čísel
Podľa potreby použite vyššie uvedené pravidlá na zjednodušenie zložitých výrazov. Napríklad:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja))
Toto je možné zjednodušiť použitím pravidla sčítania v čitateli, pravidla násobenia v menovateli a dokončenia delenia. Pre čitateľa:
(4 + 2_i_) + (2 - ja) = 6 + ja
Pre menovateľa:
(2 + 2_i _) (2+ ja) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Ich vrátenie na miesto dáva:
z = (6 + ja) / (2 + 6_i_)
Násobenie obidvoch častí konjugátom menovateľa vedie k:
z = (6 + ja) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
To znamená z zjednodušuje sa takto:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja)) = 9/20 −17_i_ / 20