Ako integrovať funkcie druhej odmocniny

Obsah

• Integrácia základných funkcií druhej odmocniny
• Integrácia komplexnejších štvorcových koreňových funkcií

Integračné funkcie sú jednou z hlavných aplikácií počtu. Niekedy je to jednoduché, ako v prípade:

F (x) = ∫ (x³ + 8) dx

V porovnateľne zložitom príklade tohto typu môžete na integráciu neurčitých integrálov použiť verziu základného vzorca:

∫ (xⁿ + A) dx = x^{(n + 1)}/ (n + 1) + An + C,

kde A a C sú konštanty.

V tomto príklade teda

∫ x³ + 8 = x⁴/ 4 + 8x + C.

Integrácia základných funkcií druhej odmocniny

Integrácia funkcie druhej odmocniny je na povrchu nepríjemná. Napríklad môžete byť v kontakte s:

F (x) = ∫ √dx

Ale môžete vyjadriť druhú odmocninu ako exponent, 1/2:

√ x³ = x^3(1/2) = x^(3/2)

Integrál sa preto stáva:

∫ (x^3/2 + 2x - 7) dx

na ktoré môžete použiť obvyklý vzorec zhora:

= x^(5/2)/ (5/2) + 2 (x²/ 2) - 7x

= (2/5) x^(5/2) + x² - 7x

Integrácia komplexnejších štvorcových koreňových funkcií

Niekedy môžete mať pod radikálnym znamením viac ako jeden výraz, ako v tomto príklade:

F (x) = ∫ dx

Na pokračovanie môžete použiť u-substitúciu. Tu nastavíte u rovné množstvu v menovateli:

u = √ (x - 3)

Vyriešte to pre x štvorcom oboch strán a odčítajte:

u² = x - 3

x = u² + 3

To vám umožní získať dx z hľadiska u tým, že vezmeme derivát x:

dx = (2u) du

Nahradenie späť do pôvodného integrálu dáva

F (x) = ∫ (u² + 3 + 1) / udu

= ∫du

= ∫ (2u² + 8) du

Teraz ju môžete integrovať pomocou základného vzorca a vyjadrením u v x:

∫ (2u² + 8) du = (2/3) u³ + 8u + C

= (2/3) ³ + 8 + C

= (2/3) (x - 3)^(3/2) + 8 (x - 3)^(1/2) + C